Go Pro

Tout sur les fonctions de la seconde à la Terminale S : addi-math

Présentation

Une autre technique pour étudier les fonctions Les 505 documents d'addi-math ont été écrits par un Professeur de Mathématiques pour donner à une jeune-fille les moyens de suivre les cours du DAEU - option scientifique, un diplôme équivalent au Baccalauréat. Dans le menu du site, ils sont repérés par leur nom : 1 Cours, 2 Correction et 3 Réponses.

» Visiter le site
Visiter ce site

Le coq noir de Neper

Neper (Mathématicien écossais 1550-1617) :
Neper est un original et n'a de cesse d'appliquer ses idées farfelues ! Il possède ainsi une grande propriété et râle contre le voisin qui laisse ses pigeons dévorer les semences de ses champs. Il menace celui-ci de les confisquer s'il ne fait rien. Le voisin le prend alors pour un fou, et accepte le défi de Neper. Mais celui-ci, dès le lendemain, ramasse les pigeons chancelants sur son champ. Il avait imbibé les grains de whisky !

Son originalité dérange tant que, comme souvent à cette époque, certains le croient adepte de magie noire... Dans sa demeure, Neper se trouve confronté à des problèmes de vol. Il annonce que son coq noir magique va identifier celui des serviteurs qui le vole. Chacun d'eux doit passer dans une pièce obscure et caresser le coq, que Neper a malicieusement enduit de suie auparavant ! Craignant d'être reconnu par l'animal, un des serviteurs n'ose pas le caresser, revient la main propre et est ainsi démasqué !

Euler, peut-être le plus grand

Euler (Mathématicien suisse 1707-1783) :
Inutile de présenter celui qui est considéré par certains comme le plus grand mathématicien de tous les temps. Terriblement prolifique, il publie plus de 800 pages par an !! Doté d'une mémoire fabuleuse, une nuit d'insomnie, il calcula les puissances 6è de tous les entiers de 1 à 100 et s'en souvint plusieurs jours plus tard. Une fièvre brutale lui fit perdre son oeil droit.

A la cour de Berlin, Frédéric le Grand, préférant les esprits brillants comme Voltaire aux scientifiques efficaces, le traite de "cyclope mathématique". Sa progéniture est tout aussi prolifique puisqu'il aura treize enfants. Euler n'avait pas son pareil pour rester patient avec eux et continuer à jouer tout en rédigeant un article... Il s'éteint à 76 ans alors qu'il buvait tranquillement le thé.

Sa mort est d'ailleurs relatée par un de ses amis : Le matin, il donna comme à son habitude des cours à ses petits neveux, et déjeuna normalement. Puis en milieu d'après-midi, alors qu'il prenait le thé, il s'écroula subitement en lachant ces derniers mots : "Je meurs...". Il avait en effet été victime d'une attaque cérébrale...

Polémique à propos du cinquième postulat d'Euclide

Le xixe siècle voit l'apparition de nombreuses nouvelles géométries. Leur naissance résulte d'interrogations sur le cinquième postulat, que Proclus* exprime de la manière suivante : Dans un plan, par un point distinct d'une droite, il existe une et une seule droite parallèle à cette droite. Ce postulat, admis par Euclide, et que l'intuition soutient, ne devrait-il pas être un théorème ? Ou, au contraire, peut-on imaginer des géométries où il tomberait en défaut ?

Un enjeu, durant le xixe siècle pour les mathématiciens, sera de parvenir à se détacher d'une intuition physique casuellement inféconde, ainsi que d'un respect inopportun des leçons des anciens, pour oser inventer de nouvelles conceptions géométriques ; celles-ci ne s'imposeront pas sans difficulté.

Dès le début du siècle Carl Friedrich Gauss s'interroge sur ce postulat. En 1813 il écrit : Pour la théorie des parallèles, nous ne sommes pas plus avancés qu'Euclide, c'est une honte pour les mathématiques. En 1817 il semble que Gauss ait acquis la conviction de l'existence de géométries non euclidiennes. En 1832, le mathématicien Janos Bolyai rédige un mémoire sur le sujet.

L'existence d'une géométrie non euclidienne n'est pas formellement démontrée, mais une forte présomption est acquise. Le commentaire de Gauss est éloquent : Vous féliciter reviendrait à me féliciter moi-même. Gauss n'a jamais publié ses résultats, probablement pour éviter une polémique. Indépendamment, Nikolaï Lobatchevski (1792-1856) devance Bolyai sur la description d'une géométrie analogue dans le journal russe Le messager de Kazan en 1829. Deux autres publications sur le sujet n'ont néanmoins pas plus d'impact sur les mathématiciens de l'époque.

Bernhard Riemann (1826-1866) établit l'existence d'une autre famille de géométries non euclidiennes pour son travail de thèse sous la direction de Gauss. L'impact reste faible, la thèse n'est publiée que deux ans après sa mort. Les géométries de Lobatchevski et Bolyai correspondent à des structures hyperboliques où il existe une infinité de parallèles passant par un même point.

La trigonométrie vieille de 3 000 ans

La table des cordes
L'une des tâche de l'astronomie fût l'établissement de tables permettant le passage de la mesure des angles à celle de arcs et des cordes. (corde d'un cercle).

Les premières tables des cordes, celles du mathématicien grec d'Hipparque de Nicée (-190 ; -120), ont été perdues. On s'accorde à voir, en les travaux d'Hipparque, l'ancêtre de la trigonométrie.

Poursuivant les recherches des astronomes Babyloniens, il introduit la division du cercle en 360° et, grâce à un immense travail d'observations des astres, il établit les premières "tables de cordes". 
Avec ces tables, il découvrit que l'axe de la terre n'était pas fixe ! Il se déplaçait le long d'un cercle pour revenir à la même place tous les 26 000 ans environ : la précession des équinoxes.

L'unité d'angle d'Hipparque de Nicée était le degré qu'il partageait en 60 minutes, et les minutes en 60 secondes, comme faisaient jadis les babyloniens !

Les tables du mathématicien grec Claude PTOLEMEE (90 - 168) établissaient le passage entre les longueurs des cordes et celles des valeurs d'arcs.

C'est bien la démarche qui a donné naissance à l'ancêtre du sinus.

La définition du mot "fonction" dans le temps

Euler (1707 - 1783), l'un des plus grands créateurs de notations écrivait :

"J'appelle fonctions toutes les portions des lignes droites qu'on fait en menant des droites qui répondent au point fixe et aux points de la courbe ; comme sont les abscisse, ordonnée, corde, tangente, perpendiculaire, sous-tangente... et une infinité d'autres d'une construction plus composée, qu'on ne peut figurer." 

Cauchy (1789 - 1857), dans son cours d'analyse à l'Ecole Polytechnique déclarait :

« Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles que, la valeur de l'une étant donnée, on puisse en conclure les valeurs de toutes les autres ; on conçoit d'ordinaire ces diverses quantités expérimentées au moyen de l'une d'entre elles, qui prend alors le nom de variable indépendante et les autres quantités exprimées au moyen de la variable indépendante sont ce qu'on appelle des fonctions de cette variable. »

Et dans un manuel scolaire de 1975 (Vissiot), on pouvait lire :

« On appelle fonction de E vers F un objet mathématique défini par la triple donnée de :

1) un ensemble E, appelé source ou ensemble de départ,
2) un ensemble F, appelé but ou ensemble d'arrivée,
3) une forme propositionnelle à deux variables p (x,y) telle que, pour tout élément x de E, il existe au plus un élément y de F. »

Quelle définition adoptez-vous ?

Sir Hamilton et les quaternions

En mathématiques, un quaternion est un nombre dans un sens généralisé. Les quaternions englobent les nombres réels et complexes dans un système de nombres où la multiplication n'est plus une loi commutative.

Les quaternions sont ainsi le premier exemple de nombres hypercomplexes. D'après le théorème de Frobenius ce sont aussi les derniers, au sens où il n'existe pas de système de nombres plus général à moins de renoncer à l'associativité de la multiplication.

D'après les dires de Hamilton qui les découvrit, l'étincelle se produisit le 16 octobre 1843, alors qu'il marchait le long du Royal Canal à Dublin en compagnie de son épouse. La solution lui vint à l'esprit sous la forme d'une formule.
Dans une pierre du pont de Brougham, il grava cette formule qui est effacée aujourd'hui par le temps ; elle est remplacée par une plaque à la mémoire de Sir William Rowan Hamilton qui donna leur nom aux quaternions et consacra le restant de sa vie à les étudier et à les diffuser.

Localisation

Contact

MSN : Contacter par MSN
Google+ : Profil Google+
Facebook : Voir sur facebook
Skype : Contacter par Skype
Adresse :
34460 Cessenon-sur-Orb France
GPS : 3.05282 / 43.4506
Contacter ce site

Sans email, vous ne pourrez pas recevoir de réponses
Les messages sont envoyés directement à Tout sur les fonctions de la seconde à la Terminale S : addi-math. Toute demande pour Costaud ne sera pas traitée.



Sites suggérés

Recherche
» Recherche avancée
Navigation
Top de la semaine
Top du mois
Top de la catégorie
v2